Le forgeron…

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Le Maréchal-ferrant

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On raconte qu’un jour, au cours d’une promenade à cheval, le roi Frédéric II de Prusse fut dans l’obligation d’avoir recours à un forgeron de village pour ferrer sa monture. En homme soucieux de ses intérêts personnels et désireux de garder l’incognito, il tint à s’enquérir du prix du travail demandé avant de le faire exécuter.

– Ce sera un centime pour le premier clou, deux centimes pour le deuxième, quatre centimes pour le troisième, huit centimes pour le quatrième, seize centimes pour le cinquième et ainsi de suite toujours en doublant jusqu’au dernier, répondit l’artisan malin.

– Entendu, répliqua le monarque qui en lui-même avait l’impression de faire une bonne affaire.

Le travail terminé, le roi l’examina en connaisseur, le trouva à son goût et demanda son dû.

– A raison de sept clous par pied, j’ai placé vingt-huit clous à votre cheval, répondit le forgeron.

D’après leurs conventions, quelle somme le forgeron réclama-t-il au roi ?

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Réponse

Remarque : Pour « 2exp0 », lire et comprendre « 2 exposant 0 » ; pour « 2exp1, lire et comprendre « 2 exposant 1 » ; etc.

 Soit c1 le prix du premier clou, c2 celui de deuxième clou, …, c28celui du vingt-huitième clou et S la somme à payer par le monarque.

 

S = c1 + c2 + c3 + … + c28

= 2exp0 + 2exp1 + 2exp2 + … + 2exp27.  Œ

 

On multiplie cette égalité par 2 :

 

2S = 2  (2exp0 + 2exp1 + 2exp2 + … + 2exp27)

= 2exp1 + 2exp2 + 2exp3 + … + 2exp28. 

 

On soustrait membre à membre les égalités précédentes :

 

2S – S = (2exp1 + 2exp2 + 2exp3 + … + 2exp28) –  (2exp0 + 2exp1 + 2exp2 + … + 2exp27)

=  2exp28 – 2exp0

= 268 435 456 – 1

= 268 435 455.

 

Le monarque en payant 268 435 455 centimes a-t-il vraiment fait une bonne affaire ?

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